atividade diferenciada

Estou enviando uma sequencia didática, do caderno do aluno do Estado de São Paulo, com atividade diferenciada, envolvendo a construção do conceito do teorema de Pitágoras. O referido exercício, encontra-se na página 33. Achei interessante o enfoque, e acredito que eu poderia ter aprendido dessa forma! Para quem quiser estudar mais, segue o link http://pt.scribd.com/doc/79594407/Caderno-do-aluno-matematica-7%C2%AA-serie-4%C2%BA-bimestre 1)Pitágoras, em sua viagem pelo Egito, tomou conhecimento da propriedade do triângulo 3, 4 e 5. Seu espírito crítico logo o levaria a estabelecer outra relação entre esses números. Vamos acompanhar, nesta atividade, um suposto caminho percorrido por Pitágoras. Vamos chamar de quadrado geométrico de um segmento a construção de um quadrado que tenha esse segmento por lado. E vamos chamar de quadrado aritmético o cálculo em potência de expoente quadrado (2) do número que representa a medida daquele lado. Com o número 3, encontramos o quadrado aritmético 3² = 9 a) Em uma folha avulsa, construa os quadrados geométricos dos segmentos de medidas: 3, 4 e 5. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles. Calcule os quadrados aritméticos dos números 3, 4 e 5 e escreva seus resultados sobre os quadrados geométricos. b) Analisando os valores dos quadrados aritméticos, podemos concluir uma relação entre eles. c) Recorte os quadrados geométricos dos segmentos 3, 4 e 5. Construa na malha quadriculada abaixo um triângulo de lados 3, 4 e 5. Acomode, sem sobrepor as figuras, sobre cada lado do triângulo, o quadrado geométrico do segmento que corresponde à sua medida. O lado maior do triângulo retângulo chama-se hipotenusa (do grego hypoteinousa – “esticado abaixo”, no lado dos catetos) e os outros lados são denominados catetos (do grego kathetos – “coisa perpendicular”). Formule uma sentença que combine esses termos com as descobertas feitas sobre os quadrados geométricos e aritméticos associados ao triângulo 3, 4 e 5.

Separei tres apresentações do you tube, as quais mencionam Pitágoras.

1)Essa apresentação foi criada com referencia no livro introdução á historia da matemática, Howard Eves
http://www.youtube.com/watch?v=BOdDxVCxyFM&feature=youtu.be

2)Os vídeos de "Donald no país da matemágica" são bem interessantes e com forte apelo lúdico, que leva a conhecer quem foi Pitágoras.

O video parte 1, o qual fala sobre nosso tema, pode ser acessado pelo link

http://www.youtube.com/watch?v=Nc1vulpH31E

3)Esse vídeo tras uma material MUITO INTERESSANTE, que eu nunca havia visto antes. Parece uma ampulheta, na qual os quadrados dos catetos, cheios de areia, enchem completamente o quadrado da hipotenusa.

http://www.youtube.com/watch?v=YoVo-iH130Y&feature=fvwrel

Algumas provas mais famosas do teorema de Pitágoras, imagens e seu modo de construção.

Provavelmente a proposição mais famosa de Pitágoras seja a figura a seguir, conhecida como "A cadeia da noiva", é a primeira das duas provas de Euclides.

Temos a partir de outras figuras e formas as construções do Teorema.

Começamos então com dois quadrados com lados a e b , respectivamente, colocados lado a lado. A área total dos dois quadrados é a ² + b ² .

A construção não teve início a partir de um triângulo, removendo o segmento que dividia os dois quadrados e traçando então duas retas internas, são encontrados dois triângulos idênticos, ambos os lados com a e b e hipotenusa c . 

O ultimo passo é girar os triângulos 90 °cada, em torno do seu vértice superior, o direito no sentido horário e o esquerdo no sentido anti-horário, resultando assim um quadrado com o lado c e área c². Esta prova aparece em uma encarnação dinâmica.

A forma mais conhecida e mais dinâmica para ser aplicada é fazendo quatro triângulos idênticos ab/2, copiando e colando, o primeiro ficando em sua posição original, o segundo girando 90º, o terceiro seguindo 90º em relação ao segundo e o ultimo girando 90º em relação ao terceiro, isto é, 90º, 180º e 270º respectivamente.

Agora, vamos colocá-los juntos já com suas respectivas rotações, assim, formando um quadrado com o lado c .

A imagem formada tem um buraco quadrado com o lado (a-b), ou seja, sua área é (a- b)² e 2ab e a área dos quatro triângulos é 4ab/2, temos então:

c²=(a-b)²+2ab

c²=a²-2ab+b²+2ab

c²=a²+b²

Referencia disponível em http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml.

Matemáticos e suas contribuições

Mapa Mental, construido a partir do software Intelimap

Referência:
Disponível em:<http://www.intelimap.com.br/?gclid=CJeE4cGig7ACFY_J7Qodol8umg>. Acesso em 14/05/2012.

Mapas Mentais

Mapa mental é um objeto de aprendizagem, do tipo diagrama, sistematizado pelo inglês Tony Buzan, voltado para a gestão de informações, de conhecimento, e de capital intelectual; para a compreensão e solução de problemas; na memorização e aprendizado e como ferramenta de brainstorming (tempestade de ideias). As representações gráficas feitas em um mapa mental partem de um único centro, a partir do qual são irradiadas as informações relacionadas. Os Mapas Mentais podem ser aplicados a qualquer tarefa, atividade, profissional, ou lazer, é muito eficaz como ferramenta de estudo para vestibulares, concursos, de modo individual ou em grupo para planejar qualquer tipo de evento.
O sistema de diagrama apresentado abaixo tem como foco principal alguns matemáticos, suas biográfias e contribuições. De maneira sistematizada e organizada fizemos um estudo sobre Pitágoras de Samos, suas contribuições, tais como, seu teorema e suas demosntrações, por meio do software Geogebra.

Veja abaixo:

Objeto de Aprendizagem apresentado pela aluna Alessandra Azevedo à Disciplina de Informática Educativa II no curso de pós-graduação em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática/UFF (Curso oferecido pela UAB – pólo de Itapetininga/SP)

Referências:

Disponível em:< http://ntem.lanteuff.org/mod/resource/view.php?id=1467>. Acesso em 13/05/2012.

Disponível em:<http://mind42.com/>.Acesso em 12/05/2012.

Disponível em:<http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras>. Acesso em 13/05/2012.

Disponível em:<http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras>.Acesso em 13/05/2012.

Disponível em:<http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras>.Acesso em 14/05/2012.

Disponível em:<http://www.youtube.com/watch?v=k6ayAwYjoXY&feature=endscreen&NR=1>.Acesso em 14/05/2012.

Uma Demonstração para o Teorema de Pitágoras Com base na figura abaixo, pode-se deduzir a fórmula que descreve o Teorema de Pitágoras. Além disso, movimentando o ponto P, pode-se verificar, de forma dinâmica, a validade do Teorema para uma quantidade considerável de triângulos retângulos de hipotenusa medindo 'a' e catetos 'b' e 'c'. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) Assim sendo, podemos estabelecer, para os triângulos retângulos representados acima, a relação entre as medidas dos seus lados, na qual o quadrado da medida da hipotenusa corresponde à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Além disso, a partir de procedimentos algébricos envolvendo medidas de áreas e o conceito de congruência de triângulos, tal resultado pode ser generalizado para qualquer triângulo retângulo. Referência: OLIVEIRA, Juliane Amaral de. Teorema de Pitágoras. Belo Horizonte, 2008, 46 p. Monografia (Especialização em Matemática) - Universidade federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2008. Gustavo , Criado com GeoGebra

Uma verificação para o Teorema de Pitágoras

Abaixo, pode-se verificar a validade do Teorema de Pitágoras, com base no seguinte resultado:

"Se figuras semelhantes são construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos."

Referência: OLIVEIRA, Juliane Amaral de. Teorema de Pitágoras. Belo Horizonte, 2008, 46 p. Monografia (Especialização em Matemática) - Universidade federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2008.

Uma verificação do Teorema de Pitágoras Mova os pontos A e C, vértices do triângulo retângulo e observe que a área da figura construida sobre a hipotenusa corresponde sempre à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) E essa relação entre áreas é válida para qualquer figura semelhante construída sobre os lados de triângulos retângulos! Gustavo , Criado com GeoGebra

A GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Você já deve conhecer o Teorema de Pitágoras e a relação entre as áreas dos quadrados construídos com as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo.

Você sabia que essa relação entre as áreas é válida também para outras figuras geométricas semelhantes, quando justapostas a um triângulo retângulo?

 Vejamos quando essa relação é válida

área A = área B + área C, sendo T um triângulo retângulo?

Como, por exemplo, nos desenhos:

Referência: Tangrans Pitagóricos. Disponível em:< http://www.uff.br/cdme/tangrans_pitagoricos_eletronico/index.html>. Acesso em 08/05/2012.

O TEOREMA DE PITÁGORAS

Um pouco da História....

    Pitágoras nasceu na Ilha de Samos, na Grécia, por volta de 580 a.C. Tornou-se um renomado matemático, astrônomo, filósofo e músico, contribuindo em vários ramos da Matemática. 

      Em Crotona, sul da Itália, fundou uma instituição filosófica e ganhou adeptos, que ficaram conhecidos, no mundo todo, por 'Os Pitagóricos'.

      No campo da Geometria, sua maior contribuição deve-se à demonstração do teorema que leva o seu nome, e está descrito a seguir:

"Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos."

     O fato é que o Teorema de Pitágoras já era conhecido e utilizado em épocas muito anteriores a Pitágoras, especialmente no Egito, no entanto, foi Pitágoras quem conseguiu demonstrar, com rigor matemático, a sua validade.

       Pitágoras e seus discípulos eram considerados excêntricos e seguidores fanáticos das idéias que defendiam, entre elas a de que todo o universo resumia-se e podia ser explicado pelos números inteiros e pelas frações determinadas por inteiros. Entretanto, a descoberta que tais números não eram suficientes para descrever o universo, por exemplo, a diagonal de um quadrado não pode ser expressa por inteiros ou pela razão de inteiros; desencadeou uma crise na escola pitagórica, que culminou com o exílio de Pitágoras para uma cidade grega, também ao sul da Itália, chamada Megapontum, local onde morreu, por volta do ano 500 a.C., entretanto suas idéias continuam vivas e envolvidas no desenvolvimento matemático, até os dias de hoje.

Referência: A história e biografia de Pitágoras. Disponível em: http://www.ahistoria.com.br/pitagoras/. Acesso em 07 de Maio de 2012.

A linha do tempo da Geometria

A história da Geometria on Dipity.

"Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo de prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse mas a aquisição, não é a presença mas o ato de atingir a meta."

(Carl Friedrich Gauss)